程序喵
数学家是将咖啡转变成定理的机器。 ——埃尔德什
埃尔德什是20世纪世界上最伟大的数学家之一，无疑也是最古怪独特的数学家之一。
出生于数学人才辈出的匈牙利，科学精英荟萃的犹太家庭。埃尔德什从小就有神童之称，17岁发表数学论文，一生中与四百五十多人合作，发表了1500篇著作论文。埃尔德什一生命运多舛，身为犹太人，遭纳粹迫害，不得不亡命国外，50年代因与华罗庚通信而被怀疑通共亲华，被美国麦卡锡主义者赶出美国，从此终生漂泊浪迹天涯，埃尔德什终身未娶，没有固定职业，但他把一身献给了科学事业，他一天工作十八九个小时，一年四季奔波于世界各地，与数学界同行探讨数学难题，埃尔德什的大脑里整天装满了数学问题、定理、猜想、证明。
匈 牙 利 神 童
1913年3月26日，埃尔德什出生在多瑙河畔的布达佩斯，就像爱尔兰作家乔伊斯（J.Joyce）的小说《尤利西斯》的主人公布卢姆一样，双亲都是匈牙利犹太人。虽然以色列奉行的对外政策长期以来并不被世界人民所一致接纳，可是犹太人在经济、科学、文化和艺术领域的杰出贡献却是有目共睹的。仅仅在匈牙利科学界，20世纪就有冯·诺伊曼(J.vonNeumann)，数字计算机和博弈论的发明者；特勒(E.Teller)，氢弹之父；冯·卡门(T.von Kármán)，超音速飞机之父；赫维希(G.de Hevesy)，同位素跟踪技术的发明者。在艺术领域，则涌现出了钢琴家索尔蒂(G.Solti)和塞尔(G.Szell)，指挥家多拉蒂(A.Dorati)和奥曼迪(E.Ormandy)，作曲家巴托克(B.Bartok)和柯达里(Z.Kodály)，设计大师莫霍伊-纳吉(L.Moholy-Nagy)、娱乐业巨子福克斯(W.Fox)、制片人克迪斯(M.Kurtisz)和电影导演祖可(A.Zukor)等， 以至于有人戏称布达佩斯为“犹达佩斯”(Judapest)。
埃尔德什的父母是帕兹马尼大学数学系的同学，婚后父亲在一所中学里任教。其时在奥匈二元君主政体统治了半个世纪以后，匈牙利的经济和文化业已达到了辉煌的顶点。就在他的母亲住进医院准备分娩的时候，一场可怕的猩红热席卷了布达佩斯。等到她带着保罗从医院回到家里，他的两个姐姐已经死去，伤心透顶的双亲便将他们全部的爱与精力都倾注到这个灰眼睛的男孩身上。当保罗刚满三个月，奥匈帝国王储斐迪南（F.Ferdinand）在萨拉热窝遇刺身亡，引发了第一次世界大战。奥匈帝国向塞尔维亚宣战，紧接着俄国也卷了进来，向奥匈帝国宣战。这场战争意味着匈牙利黄金时代的结束。保罗的父亲应征入伍，他很快就被俄军俘虏，在西伯利亚度过了六年的铁窗生活。
这一情景使我想起19世纪中叶，匈牙利诗人裴多菲（S.Petofi）也被俄军所俘，七年后因患肺结核死于西伯利亚。所幸老埃尔德什从西伯利亚集中营活过来了，当他返回布达佩斯时，保罗已是一个漂亮的小男孩，他的犹太式家庭教育也开始了。数学当然是核心课程，但外语也有着同等重要的地位。除了德语以外，父亲把在西伯利亚为驱散严寒和饥饿学会的法语和英语也传授给他。可是，与几乎所有的匈牙利人一样，埃尔德什的英语带有浓厚的口音，对这一点我本人记忆犹新，据说所有有关埃尔德什的纪录片都对他的讲话配上了字幕。作为一名中学教师，埃尔德什的父亲所能教给儿子的自然是有关整数性质的数论知识，尤其那些被称作是“原子”的素数。而埃尔德什本人也和大多数数学神童一样，对素数发生了无法驱散的兴趣，从欧几里得《几何原本》里提到的素数有无穷多个，直到包括孪生素数猜想在内的两个相邻素数之间的间隔。
与大多数神童一样，埃尔德什的生活能力并不强，11岁那年，他终于学会了自己系鞋带，第一次进了学校，并且一下子就上了六年级。尽管学校里严格的课堂纪律使埃尔德什的心智受到了压抑，他的成绩仍在班里名列前茅，唯一没有取得A的科目是绘画。当时他最喜欢的课是历史，并且终生保持了这一爱好。促使埃尔德什把兴趣转向数学的是一本叫《中学数学》的杂志，那上面提供一些挑战性的题目，并且把优胜者的照片刊登其上。这些问题有许多是数论领域的，父亲先期教育的效应得以显示出来，小埃尔德什的照片很快被刊登出来，这份杂志一直伴随着他读完中学。尽管当时反犹主义猖獗，“名额控制法”将犹太人的大学入学率限制在总数的6%，埃尔德什仍被布达佩斯大学录取，在那里他遇到了不少从前在杂志上见到过的模糊面孔，埃尔德什的数学之舟开始扬帆了。
求 学 英 伦
1934年9月，年仅21岁的埃尔德什登上了火车，第一次离开了匈牙利，这是他无数次数学之旅中的头一回。此前几个月，他刚刚在双亲的母校——帕兹马尼大学获得了博士学位，英国的曼彻斯特大学向他提供了一笔100英镑的奖学金。可是，埃尔德什并不能享受旅途的愉快，相反，他感到有些疲惫，甚至不知道如何在火车上对付一日三餐及其他琐事。唯有数学技艺的交流给他带来乐趣，路过瑞士他第一次敞开了大脑，在苏黎世拜访了一位数学家。10月1日早晨，埃尔德什永远记着这一天，他乘坐的火车抵达剑桥，来不及参观这所举世闻名的大学城，他又一次敞开了大脑，与两位前来迎接的数学同行来到三一学院作长时间的学术探讨。然后，他们在一起共进午餐，同行们这才发现，埃尔德什还从来不会在面包片上涂抹黄油。
在对剑桥大学作了短促的访问以后，埃尔德什继续坐火车来到曼彻斯特。这座如今以足球闻名于世的城市，那时还只获得过两次甲级联赛冠军和一次足总杯冠军，并且这个成绩也是在上个世纪初取得的。可是，曼彻斯特大学的数学研究中心却早已名声在外，由于欧洲大陆日渐上升的紧张气氛，它吸引了众多的外国访问者前来讲学或合作研究。事实上，当时欧洲大陆的知识分子还没有想要移民到大西洋彼岸的美国，曼大数学系主任莫德尔（L.Mordell）教授本人就是个美国人，他中学毕业后好不容易才凑足路费来到英伦求学，经过刻苦的奋斗成为知名的数论学家。以莫德尔命名的猜想的解决最终导致了费马大定理的证明，并且在后面那个证明得到确认之前，前一项工作一直被认为是上个世纪数论领域所取得的最重要成就。
在曼彻斯特逗留期间，埃尔德什和一位德国数学家以及莫德尔的中国学生柯召合作撰写过一篇组合理论方面的论文，包括著名的埃尔德什-柯-拉多定理。可是，由于当时的数学界对组合理论缺乏兴趣，这项工作迟至1961年才得以发表，立时成为一篇经典文献。柯召先生是我的老乡，他刚刚谢世，在他80岁生日的宴会上，我们曾在成都用地道的浙江方言做过交谈。柯召在曼彻斯特取得博士学位后返回祖国，一直在四川大学和重庆大学执教，埃尔德什第一次来中国正是应他的邀请，他和华罗庚作为仅有的两位数论学家同时当选为中国科学院的首批学部委员。
在英伦的四年期间，埃尔德什并不满足于待在一座城市，事实上，他几乎没有连续一个星期在同一张床上睡过觉，总是敞开着大脑，穿梭于曼彻斯特、剑桥、布里斯托尔、伦敦或其他大学城之间。那个时候，青年埃尔德什的工作已显露出独特的个性：游戏、灵敏和原创。例如，他猜想，一个正方形可以分割成若干个大小不等的正方形，直到40多年以后，才有人证明了这些小正方形的最少个数为21。而在二次大战期间，有一位叫塔特（W. Tutte）的英国青年，就因为研究埃尔德什的这个猜想取得成绩而被推荐去参与一项秘密的军事计划。结果他们找对了人，塔特成功地破译了德国潜水艇艇长们发出的电码，使得盟军顺利截获和捣毁了敌方的物质供应船只，从而大大缩短了战争的进程，这大概是英国邀请埃尔德什访问获得的最好报偿。
奇 异 的 旅 行 者
1929年10月24日，纽约股票出现猛跌的那个黑色星期一，导致了长达十年之久的全球经济大恐慌，直到第二次世界大战爆发后，在战争的刺激下才有所恢复。就在那个黑色星期一到来前一个多月，美国第四大零售连锁店班伯格（Bamberger）公司的老板，凭着敏锐的洞察力，把公司转让了出去。此后，或许是出于内疚的心理，班伯格兄妹拜访了著名的教育家弗莱克斯纳（A.Flexner）医生，后者建议他们放弃捐献一座医学院的冲动。如同毕达哥拉斯学园那样，弗莱克斯纳设想了一个知识分子的伊甸园，“一个安全的避风港，科学家和学者在这里把世界和它的种种现象作为他们的实验对象，而他们不会被强行卷入近期的旋涡中”。所谓“近期旋涡”指的是纳粹德国和法西斯主义引发的那场灾难，其时正失控地在世界范围内蔓延。
这就是普林斯顿高等研究院的来历，爱因斯坦是被邀请来的首席教授。所有终身教授都被免除了作为人的种种烦恼，包括交水电费在内的家务活计，填写申请基金之类的各类表格，甚至发表论文或向上司汇报工作等等。换句话说，一旦进入了研究院，你就得到了充分信任，可以依据自己的兴趣做任何研究。事实上，相当一部分时间，数学家和理论物理学家们在修剪得整整齐齐的草坪上散步，在公共客厅里喝咖啡闲聊或没完没了地下棋。尽管如此，他们却作出了惊人的贡献，常常是一生最好的工作，比如英国数学家怀尔斯（A.Wiles），七年没有发表一篇论文，最后完成的是费马大定理的证明。这些现象表明，弗莱克斯纳医生对人类文明的贡献一点也不亚于另一位医生——精神分析学家弗洛伊德(S.Freud)。
1938年夏天，埃尔德什从英国回到匈牙利过暑假。9月初，刚刚吞并奥地利的希特勒要求合并苏台德地区，这是捷克斯洛伐克讲德语的一个地区。埃尔德什被震惊了，就在这个时候，普林斯顿向他伸出了橄榄枝，邀请他做访问学者。24岁的埃尔德什与亲戚朋友（这些人中相当一部分后来死于战争）匆匆告别，乘上火车，向南绕道潘诺尼亚平原、意大利和瑞士来到巴黎，最后抵达伦敦。月底，埃尔德什乘坐“玛丽女王”号前往纽约，转道新泽西，迈出了世界之旅的坚实一步。
埃尔德什一直认为，他初到普林斯顿那年是他学术生涯最为成功的一年。例如，他证明了任意多个连续正整数之积不会是一个完全平方数，这个结论再次使人相信数字结构的有序性。又如，他和波兰人卡茨（M.Kac）得到了埃尔德什-卡茨定理，说的是小于N的整数所含的不同素因子个数与一枚硬币抛N次正面向上的次数遵守同样的曲线分布，这个结论表明整数规则的表面背后实际上隐藏着混乱。
可是，埃尔德什喜欢并擅长的那类数学问题在当时并不受重视，原因是它们和近期数学的发展趋势没有关系。而在埃尔德什看来，他原前精通的数学仍然蕴涵着无穷的宝藏，那为什么不去继续开采它呢？何况那些问题是数学中最美丽的部分。正如他的一位合作者所分析的，“埃尔德什的想象力和技巧是如此的深刻，不用走出太远，就能开辟出一条永不干涸的溪流。而其他人由于想象力不够深技巧不够精，只好通过更多的数学，才能产生想法和新的定理。”无论如何，年轻的埃尔德什还是没有被普林斯顿续聘，这让他愤愤不平。当伊甸园的大门在他身后关上时，埃尔德什不得不又开始了新的数学之旅，从那以后，他便成了真正的数学游子。但他心胸宽阔，战后仍经常光临普林斯顿，正是在那里他凭借初等方法证明了古老的素数定理。这些非凡的工作为他赢得了未来的沃尔夫奖。
各 式 各 样 的 数 学 家
有一次，爱因斯坦的助手斯特劳斯（E.Straus）教授谈到他的担忧，“一个人可能会在某些问题上耗尽精力，却始终不能发现关键所在。”爱因斯坦自己也认为，他之所以没有成为数学家是因为这个领域充满了漂亮而困难的问题。埃尔德什却义无返顾地深入到爱因斯坦所惧怕的诱惑之中，而他的确也从未陷入不切要害的泥潭里。他们分别使我想起17世纪的两位天才人物——费马（P.de Fermat）和牛顿，前者全身心地投入到纯粹的数论问题中，后者发明了微积分、三大运动定律和万有引力定律而成为历史上最有影响力的科学家。尽管如此，斯特劳斯认为，“在探索真理的征途中，唐璜式的埃尔德什和加拉哈式的爱因斯坦各有用武之地。”遗憾的是，在我解决了最初那类均值估计问题以后，一位前辈学人也因循传统的观念，告诉我埃尔德什的那类工作都是小问题，这一友善的“忠告”使我没有坚定地沿着自己擅长的方向走下去。直到费马大定理被证明以后，包括王元先生这样的有识之士才认识到，数论学家应该回到埃尔德什开启的轨道上来。
埃尔德什是一位苦行僧，他放弃了尘世的享乐和物质追求而去过一种殚尽竭虑却又不被人们理解的生活。他和牛顿一样，终生没有结婚，甚至没有谈过恋爱，但那不是数学的缘故，而可能是先天的体格原因。即使最轻微的身体接触也会让他敬而远之，当陌生人跟他握手时，他最多也就是用其柔软的手与对方擦一下，即便那样他也会感到不舒服，会一整天强迫自己洗手。并不是没有女人喜欢他，而是关键时刻他都会逃之夭夭。可是，究竟是什么使得数学让埃尔德什如此陶醉而又如此憔悴呢？除了前面提到的游戏、灵敏和原创性以外，数学无时不在的挑战性像鸦片一样刺激着埃尔德什的神经，他的大脑始终敞开着，还有一对机警的耳朵，素数定理的初等证明和哥尼斯堡七桥问题的推广这两项工作就是道听途说和电话线里被他捕捉到的。
罗素（B.Russell），一位有过四次婚姻，一生留下许多风流韵事的数学家兼哲学家（他的秘密情人中包括诗人艾略特(T.Eliot)的妻子），部分是由于他的文笔优美、雅俗共赏而意外地成为诺贝尔文学奖得主，年轻时也非常迷恋数的世界，并写诗赞叹，“我曾渴望读懂人们的心窝。/我曾渴望知道星星为什么闪烁。/我曾试图了解毕达哥拉斯的神力，/有了它，数字不再摇曳不定。”罗素出身贵族，其祖父两度出任英国首相，三岁的时候父母双亡，他在祖母的严格管教下长大，接受了清教徒式的训练，少年时代一度萌生了自杀的念头，正是数学使他摆脱了青春期的孤独和绝望。虽然后来转向了哲学研究，但终其一生，罗素从数学中获益匪浅，他与怀特海（A. Whitehead）合作的哲学名著的标题就叫《数学原理》，该书对逻辑实证主义的观点进行了新的解释，同时为哲学研究提出了新目标和新问题。
与埃尔德什同时代的匈牙利数学家冯·诺伊曼也是一位活力四射的人物。他是通才的样板，在数理逻辑、集合论、连续群、遍历性理论、量子力学和算子理论方面取得了卓越的成就，同时，他又是现代电子计算机和博弈论之父，在物理学和经济学领域有着巨大的影响力。连埃尔德什也不得不承认，冯·诺伊曼的反应速度和理解力是非同寻常的。他不仅思维敏捷，而且穿着时髦、风趣迷人，喜欢跑车和女人，爱写打油诗、讲黄色故事，对噪音、美食、酒和金钱一概不排斥。我在这里举罗素和冯·诺伊曼的例子无非是想说明，数学家的个性因人而异，与数学自身的特点并无必然的关联。只不过，对冯·诺伊曼来说，他的数学可能源自于经验，他的生活也大体如此；而对埃尔德什来说却不是这样，至少在我看来，他的数学直接源自于那颗无时无刻不敞开着的脑袋。1996年秋天，埃尔德什在华沙发表组合论的演讲之际死于心脏病，在那颗神奇的脑袋停止工作以后，人类或许要等上一个千年，才有可能重新找回。
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